Все параметры в модели Блэка-Шоуза, за исключением волатильности базового актива, можно непосредственно получить либо из рыночных данных либо из условий, предусмотренных опционным контрактом.
Таким образом, используя рыночную цену конкретного опциона можно легко получить рыночную оценку подразумеваемой волатильности его базового актива путем использования численных методов и «обращения» формулы Блэка-Шоуза. Подставляя подразумеваемую волатильность в модель Блэка-Шоуза, мы получаем цену опциона равную его рыночной стоимости.
Улыбка волатильности
Улыбка волатильности отражает связь между изменением подразумеваемой волатильности и изменением страйка опциона при фиксированной дате экспирации. Улыбка волатильности стала неким показателем ошибочности предположения модели Блэка-Шоуза о независимости волатильности от цены страйк.
Рассмотрим фундаментальное предположение модели Блэка-Шоуза о том, что базовый актив имеет постоянную волатильность, и следовательно, подразумеваемая волатильность полученная численным обращением формулы Блэка-Шоулза должна быть одинаковой для опционов с одинаковыми сроками экспирации, но с разными страйками. Таким образом, если модель Блэка-Шоуза права, то улыбка подразумеваемой волатильности должна быть плоской. Эта гипотеза подтверждалась некоторыми эмпирическими данными. Подобная картина была характерна до определенного времени для опционов на индекс S&P 500 с одинаковыми сроками экспирации и разными страйками, то есть улыбка волатильности была плоской, но подобная картина наблюдалась только до краха 1987 года.
График 1. Улыбка волатильности
Первые наблюдения эффекта подразумеваемой волатильности на рынке ценных бумаг показывали, что улыбка волатильности, как правило, была U-образной формы. Отметим тот факт, что уровень волатильности является относительно более низким для опционов при деньгах (около денег).
Ухмылка волатильности
Тем не менее, в последние годы эффект улыбки волатильности на рынке ценных бумаг почти исчез. Вместо этого наблюдается эффект отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью. Эту асимметрию называют смещенной (ассиметричной) волатильностью или чаще всего ухмылкой волатильности. Как показано на графике 2, ухмылка волатильности всегда нисходящая, то есть подразумеваемая волатильность почти монотонно возрастает с понижением страйка. Поэтому этот эффект еще называют отрицательной асимметрией(перекосом).
График 2. Ухмылка волатильности
Вообще говоря, эффект ухмылки волатильности явно показывает нам, что формула Блэка-Шоуза неправильно оценивает опционы в деньгах и опционы вне денег.
Цена опциона, рассчитанная согласно модели Блэка-Шоуза увеличивается при повышении волатильности базового актива. То есть опционы, торгуемые с более высокой подразумеваемой волатильностью стоят дороже, при прочих равных условиях. Из-за отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, подразумеваемой волатильности увеличивается с уменьшением страйка, и, соответственно, цена опциона повышается при увеличении подразумеваемой волатильности. Когда уровень волатильности выше уровня предполагаемого плоской улыбкой модели Блэка-Шоуза, put опционы вне денег (и, следовательно, call опционы в деньгах, согласно паритету цен put-call опционов) стоят дороже, чем это предсказывает модель Блэка-Шоуза, и наоборот.
Кроме того, в связи с отрицательной связью между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, put опционы вне денег и call опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более высокую подразумеваемую волатильность, в то время как call опционы вне денег и put опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более низкую подразумеваемую волатильность. Как следствие, волатильность использующаяся для определения цены с низкими страйками цены опциона (т.е. put опциона глубоко вне денег, и call опицона глубоко в деньгах) значительно выше, чем используемая для определения цены опциона с высокими страйками (т.е. call опицона глубоко вне денег, и put опицона глубоко в деньгах).
Реальная динамика цен на акции и другие активы, которые могут выступать в качестве базовых активов для опционов, отличается от динамики, описываемой уравнением геометрического броуновского движения.
Данный факт говорит о неполной адекватности модели ценообразования Блэка-Шоулза и полученных из неё на тех же самых предположениях математических моделей. Но тем не менее, модель Блэка-Шоулза остаётся весьма популярной, что в основном объясняется простотой её применения.
В качестве одной из серьёзных проблем при использовании на практике модели Блэка-Шоулза можно выделить определение волатильности. Неоднозначность состоит в том, что волатильность , в отличие от других параметров модели Блэка-Шоулза (цена исполнения, период до погашения, ставка дисконта (безрисковая ставка), цена базового актива), является рассчитываемой величиной, т.е. в явном виде она не присутствует на рынке (не торгуется). В настоящее время появляются инструменты (например, использование дельта-нейтральной конструкции опционного портфеля, не зависящего от изменения цены базового актива, так называемая торговля волатильностью), которые, можно сказать, позволяют рассматривать волатильность некоторого актива как самостоятельную единицу, благодаря чему в будущем, возможно, указанная неоднозначность модели Блэка-Шоулза будет устранена.
Оценка исторической волатильности доходности базового актива может не совпадать с подразумеваемой (implied) волатильностью (стандартное отклонение доходности базиса, соответствующее определённой рыночной цене опциона по некоторой модели ценообразования, например, модели Блэка-Шоулза).
Например, кривые исторической волатильности фьючерса на индекс РТС, построенные с помощью простой скользящей средней (MA 20) и экспоненциальной скользящей средней (EWMA), и кривая подразумеваемой (implied) волатильности, которая вычисляется из цен опционов на фьючерс индекса РТС.
На рисунке видно, что динамика кривой подразумеваемой волатильности в целом повторяет динамику исторических оценок волатильности, но существует отрезок времени, в течение которого динамика исторической и подразумеваемой волатильности противоположна.
Кроме того, при реальной торговле на срочном рынке выясняется, что сама подразумеваемая волатильность для опционов, отличающихся только величинами страйков будет различаться. Данный эффект называется . Проявление эффекта улыбки волатильности свидетельствует о том, что будущее распределение вероятности для цены базового актива не будет являться логнормальным. Приведём примеры подобного эффекта на российском фондовом рынке на примере опционов на фьючерсы Газпрома.
Укрупнённо:
Цена базового актива на 06.02.06, т.е фьючерса на акции Газпрома, составляют 22400 р. Показанное на графике искривление волатильности говорит о том, что модель Блэка-Шоулза недооценивает опционы в деньгах и без денег (естественно, если исходить из предположения, что опционы около денег оценены верно). Поэтому опционы со страйками 21500 и 22500 р. оценены рынком дороже, чем оценка по модели Блэка-Шоулза.
Существуют и другие модификации эффекта «улыбки волатильности». Наиболее часто встречающиеся из них следующие: когда рынок оценивает опционы в деньгах дороже, чем опционы без денег, и обратная ситуация - рынок рынок дороже оценивает опционы без денег. Подобные ситуации иногда называют «ухмылка волатильности» (volatility smirk) , так как график становится несимметричен относительно области текущего значения базового актива. Данный эффект можно учитывать при прогнозировании направления движения котировок базового актива опциона в будущем. Если общий наклон кривой подразумеваемой волатильности отрицательный (как в приведённом примере с опционами на фьючерсы акций Газпрома), то ожидания того, что цены будут снижаться больше. Если же общий наклон кривой положительный, то трейдеры ожидают повышения цен на базовый актив.
Таким образом, при решении задачи ценообразования опциона необходимо учитывать и закладывать в модель подобные эффекты, наблюдаемые при функционировании реального рынка.
Существуют различные модели, позволяющие учитывать рассмотренные эффекты, но тем не менее, на практике часто обходятся моделью Блэка-Шоулза, осуществляя её дополнение с учётом исторического поведения подразумеваемой волатильности.
Дополнение заключается в построении таблицы следующего вида:
Таблица подразумеваемых волатильностей
|
Длительность |
|||||
|
6 месяцев |
|||||
В этой таблице приведены значения подразумеваемых волатильностей опционов с различными периодами до исполнения и различнми страйками. ATM – at the money - опцион около денег
Рассматривается 4 состояния:
(ATM – 2 SD) - опцион со страйком, меньшим на 2 стандартных отклонения страйка опциона около денег;
(ATM – 1 SD) - опцион со страйком, меньшим на 2 стандартных отклонения страйка опциона около денег;
(ATM + 1 SD) - опцион со страйком, превышающим страйк опциона около денег на 1 стандартное отклонение;
(ATM – 1 SD) - опцион со страйком, превышающим страйк опциона около денег на 1 стандартное отклонение.
Интерполяция (например, линейная) между определёнными значениями данной таблицы позволяет учитывать эффект искривления, не усложняя при этом саму модель Блэка-Шоулза. Так, например, годовая волатильность девятимесячного опциона, со страйком на 2 стандартных отклонения ниже страйка опциона около денег составит (33,6% + 32,5%)/2 = 33,05%.
Причины описанных эффектов могут объясняться воздействием спроса и предложения на опционы со стороны крупных участников срочного рынка. Например, крупный хедж фонд, обладающий длинными позициями в акциях различных эмитентов, может пытаться заработать дополнительную прибыль, продавая опционы колл без денег на акции этих эмитентов. Таким образом, фонд будет способствовать снижению цены продаваемых опционов, что в свою очередь приведёт к снижению подразумеваемой волатильности у этих опционов.
Для валютных опционов более характерен эффект именно «улыбки волатильности», а не «ухмылки волатильности» (в отличие от опционов на фьючерсы акций), что указывает на то, что трейдеры практически одинаково страхуются как от повышения, так и от понижения курса валютной пары. В сравнении с логнормальным распределением распределение вероятности курса валютных пар характеризуется более тяжелыми (толстыми) хвостами и более острой вершиной улыбки. Это может свидетельствовать о том, что участниками рынка в большей степени ожидают либо сильные, либо слабые изменения валютного курса, нежели среднюю амплитуду колебаний. Подобный вид графика, отображающего улыбку волатильности валютного опциона, можно объяснить валютными интервенциями центрального банка страны, поддерживающего стабильность своей валюты, вследствие чего существует высокая вероятность либо стабильности валютной пары, либо значительного отклонения (в случае безуспешного воздействия ЦБ на давление трейдеров).
Не секрет, что профессиональные трейдеры часто используют . Это оставляет определённый след, на основании которого делаются выводы о том, что думают профессионалы относительно будущего движения цен по базовому активу. Учитывая хорошую осведомлённость профессиональных трейдеров, подобные наблюдения позволяют совершать сделки в направлении их действий, которые часто оказываются верны. Один из таких следов называют «Улыбкой (или ухмылкой) волатильности» по опционам, она показывает, в какую сторону и к каким ценам ожидаемо движение базового актива. В этой статье мы расскажем, как заработать на волатильности при торговле опционами.
Определение «Улыбки волатильности»
Если взглянуть на опционный деск и вывести на него ожидаемую волатильность, можно заметить, что на центральных страйках волатильность минимальна и неравномерно увеличивается по мере удаления, причём неважно в сторону роста или в сторону снижения цены.
«Улыбка волатильности» - это есть графическое отображение ожидаемой волатильности по опционам одной серии на разных страйках. Такое название у графика появилось потому, что традиционно волатильность на центральном страйке ниже, чем по страйкам вне денег, поэтому кривая волатильности по центру ниже, чем по краям, что по форме напоминает положение губ при улыбке.
Стоит более подробно остановиться на том, что из себя представляет ожидаемая волатильность и как она связана с опционными контрактами. Волатильностью называют меру колебаний диапазона движения цены базового актива. Соответственно, чем больше выражены ценовые колебания, тем выше волатильность, чем более спокойный и планомерный график цены, тем волатильность ниже.
Волатильность бывает нескольких видов. В первую очередь поговорим об исторической волатильности, которая демонстрирует годовое выражение ценовых колебаний актива в процентной форме, приведённой к годовому периоду, и которая рассчитывается на основании исторических котировок как среднеквадратичное отклонение от вектора ожидаемого значения (по сути, от среднего значения цены с учётом направленности её движения).
Что касается опционов, то «Улыбка волатильности» строится по ожидаемой волатильности, которая рассчитывается иначе. Теоретическую цену опционов рассчитывают по формуле Блэка-Шоулза, которая связывает воедино цену базового актива, срок до экспирации и волатильность. В этой формуле содержится предположение, что волатильность по всем страйкам равна, что по факту сделало бы график «Улыбка волатильности» горизонтальной прямой линией, но это не так. И здесь можно поступить от обратного - вычислить волатильность, уже имея теоретическую цену, получится ожидаемая волатильность, которую мы используем для построения графика волатильности опционов («Улыбки волатильности»).
Возникает вопрос: почему волатильность по страйкам распределяется неравномерно? Дело в том, что, выставляя цены предложения по опционам, продавцы по сути дают оценку своего риска при своём желании заработать. То есть, если актив склонен к резким снижениям цены, путы будут стоить дороже. Это происходит потому, что цена, разогнавшись в своём снижении, проходит большее расстояние, а значит, продавцы путов должны заложить подобного рода возможности в свой риск, то есть в цену. Если же актив в меньшей степени склонен к росту, а если растёт, то медленно, продавцы коллов снижают цену, так как меньше риск, что коллы выйдут «в деньги». Поскольку котировки и у коллов, и у путов есть на каждом страйке, можно понять, как по ожидаемой волатильности участники торгов оценивают вероятность движения базового актива, в какую сторону и до каких страйков. На основании этого можно понять, как использовать «Улыбку волатильности» в своей торговли.
Если волатильность по дальним путам выше, чем по коллам, то график волатильности приподнят слева. Если волатильность по дальним коллам выше, чем по путам, то график волатильности наклонен и приподнят справа. Если же волатильность по коллам и путам приблизительно одинаковая, то и её график симметричен. Соответственно, если график волатильности («Улыбка волатильности») симметричен, то участники в равной степени предполагают рост и снижение цены базового актива. Если график волатильности приподнят слева, то участники предполагают снижение цены базового актива, а если справа, то - рост цены. График подразделяется на «Улыбку», относительно симметричное распределение волатильности по страйкам, и «Ухмылку» - ситуацию, в которой один из краёв графика приподнят относительно другого. Таким образом, по страйкам с максимальной волатильностью можно судить о том, куда с большей вероятностью пойдёт базовый актив.
Вывод
«Улыбка волатильности» по опционам - это графическое отображение ожидаемой волатильности, которая позволяет сделать определённые предположения, на какое движение в большей степени «закладываются» рыночные профессионалы.
Улыбка волатильности – это графическое отображение ожидаемого уровня волатильности по опционам с одинаковым базовым активом и разными страйками. Ожидаемая волатильность в опционах распределяется не равномерно, что четко видно по цифрам на рисунке ниже, где представлена доска опционов по декабрьским фьючерсам на обыкновенные акции Сбербанка.
Самая низкая волатильность наблюдается вблизи центрального страйка (т.е. страйка, наиболее приближенного к текущей рыночной цене). Чем страйк выше или ниже от текущей рыночной стоимости, тем волатильность больше.
Улыбка волатильности по данному инструменту выглядит так, как показано на картинке ниже. График построен в программе . По вертикали в процентах отмечена волатильность, по горизонтали – страйки или цены исполнения.
На графике улыбки невооруженным глазом наблюдается еще одна закономерность: если цена на базовый актив падает, то волатильность по соответствующим опционам растет быстрее, чем если цена на БА растет. Поэтому ее еще называют кривая улыбка волатильности. Почему улыбка волатильности выглядит именно так? Скажу сразу, что такая форма улыбки характерна преимущественно для фондовых активов, т.е. акций, облигаций, индексов на акции и др. Ее форма отражает исторически сложившуюся экономическую закономерность о том, что при прочих равных условиях фондовые активы растут гораздо медленнее, чем падают в какие-то кризисные моменты.
Другими словами, рост происходит достаточно плавно, цена осторожно, потихоньку поднимается, ведь фактически, рост – это отражение длительных позитивных рыночных тенденций. Но если случается какой-то кризис, или просто начинается коррекция, то цена снижается весьма резко. Поэтому конечно опционы на фондовые активы учитывают эту особенность в улыбке. При прочих равных условиях, путы с нижними страйками будут стоить дороже, чем коллы с верхними страйками. А поскольку путы стоят дороже, то и волатильность у них тоже должна быть больше. Отсюда следует тот факт, что продавцы путов зарабатывают больше (на премии), чем продавцы коллов, потому что риски резкого падения всегда гораздо больше, чем риски резкого роста.
По разным базовым активам улыбка волатильности будет выглядеть по-разному, это связано со спецификой самого инструмента, а точнее с особенностями движения его цены в историческом аспекте. Про фондовые активы я уже сказала, а вот на валютах данная линия будет выглядеть по-другому. На рисунке ниже приведен график улыбки для опционов с базовым активом фьючерс на пару евро/рубль.
В данном случае она ломаная, при этом диапазон ее колебания очень узок и находится в пределах от 20% до 28% (в то время как по акциям Сбербанка разброс составлял от 30% до 100%). Данный график свидетельствует о том, что ожидания трейдеров относительно будущей стоимости евро-рубль как вверх, так и вниз примерно одинаковы, т.е. при благоприятном внешнем фоне трейдеры не ждут резкого роста, равно как и при негативном сценарии никто не ждет резкого обвала. По товарным инструментам (опционы на фьючерсы на золото и на нефть) улыбка волатильности будет наклонена в сторону роста, т.е. трейдеры роста ожидают сильнее, нежели падения.
Итак, улыбка волатильности это линия, которая отражает уровень ожидаемой волатильности для с разными страйками по одному базовому активу. В теории эта линия всегда должна быть прямой, ведь по формуле Блэка-Шоулза (по которой рассчитывается ) предполагается, что волатильность одинакова для всех страйков. Однако на практике этого не наблюдается, напротив, по дальним страйкам она сильно смещена. Биржа рассчитывает улыбку исходя из текущих цен на опционы.
При торговле опционами существенным моментом является правильно оценить волатильность на нужном страйке. Для этого можно использовать улыбку волатильности, которую транслирует биржа. Но, во-первых, она не всегда хорошо соответствует текущим бидам-аскам в стаканах. Во-вторых, те, кто верит в Кукла, могут посчитать, что маркет-мейкеры (совокупный Кукл) специально манипулируют улыбкой, чтобы на этом зарабатывать, а те, кто доверился этой улыбке, - соответственно, терять деньги. В третьих, что делать, когда на рынке армагеддон, сплошные маржин-коллы, никого нет в стаканах и транслируемая биржей улыбка совсем неадекватна? В таких случаях наличие собственной модели улыбки могло бы дать преимущество в торговле.
Вот видео, как ведет себя транслируемая биржей улыбка IV:
Почему улыбка поднимается то вверх, то вниз? Почему она изогнута именно так, а не иначе? Почему перекатывается за текущей ценой БА, причем дно улыбки справа от БА и только к экспирации подтягивается к БА и улыбка становится симметричной? Почему ветви у нее то поднимаются, то опускаются? В попытке ответить на эти вопросы, и если получится - создать свою модель улыбки, и было проведено данное исследование.
Чтобы посчитать свою улыбку волатильности, нужно иметь распределение вероятностей, какой будет цена БА на экспирацию (в дальнейшем - распределение цен). Если знать это распределение, то можно однозначно вычислить цены опционов на каждом страйке, и потом, используя формулу Блека-Шоулза, можно вычислить IV на каждом страйке, и получить улыбку волатильности. Как можно получить распределение цен? Попробуем построить его, генерируя тысячи случайных траекторий цены, начиная с текущего значения БА. Конечные точки траекторий (цена БА на экспирацию) сохраняем, и в конце смотрим, как часто цена попадала в тот или иной диапазон. Т.е. получаем распределение цен на экспирацию.
Для построения случайной траектории будем использовать случайные приращения цены. В теории Блэка-Шоулза предполагается, что эти приращения распределяются по нормальному закону (а полученное в конце распределение цен - по логнормальному). Мы же возьмем распределение приращений, которое реально было на рынке (в дальнейшем - эмпирическое распределение). Вот, например, распределение приращений (на минутках) для фьючерса RTS-9.11:
На гистограмму распределения реальных приращений наложен график нормального распределения. Видно, что распределение реальных приращений отличается от нормального:
- Вероятность незначительных изменений цены больше чем в нормальном распределении;
- Вероятность средних изменений цены меньше чем в нормальном;
- Вероятность значительных изменений цены больше чем в нормальном (площадь под хвостами +-3*сигмы у эмпирического распределения в три раза больше чем у нормального);
Может быть улыбка волатильности возникает именно из-за этих отличий эмпирического распределения от нормального? Проверим это. Построим распределение цен на экспирацию, используя эмпирическое распределение. Но сначала немного подкорректируем его. Дело в том, что в эмпирическом распределении уже заложен тренд, который был у БА за рассматриваемый период (например RTS-9.11 за выбранный период упал с 183505 до 161190). И если использовать исходное эмпирическое распределение, то матожидание распределения цен на экспирацию будет сильно отличаться от стартовой точки траекторий. Улыбку волатильности строить по такому распределению - нельзя. Поскольку не будет выполняться колл-пут паритет. И улыбки, посчитанные отдельно для путов и для коллов, не будут совпадать. Для выполнения паритета необходимо, чтобы матожидание распределения цен на экспирацию равнялось текущей цене БА (стартовому значению для всех траекторий). Исключим трендовую составляющую из приращений (как советуют в этой статье) и построим подкорректированное распределение цен на экспирацию:
У этого распределения матожидание совпадает с текущим значением БА, поэтому можно рассчитывать улыбки. Посчитаем улыбку отдельно для путов и отдельно для коллов. Вот что получилось:
Черная жирная линия - улыбка волатильности, которую в тот момент транслировала биржа. Зеленая - улыбка волатильности, посчитанная по распределению цен для опционов колл. Розовая - улыбка волатильности для опционов пут.
Видно, что по краям посчитанные улыбки начинают расходиться, т.е. перестает выполняться колл-пут паритет. Но главное, посчитанные улыбки совсем не похожи на параболу. И напоминают скорее горизонтальную линию. К слову, если увеличивать кол-во траекторий, то кривая посчитанных улыбок начинает вытягиваться в строго горизонтальную линию. Как же у биржевой улыбки получается парабола?
При подсчете цен опционов по распределению цен сделаем коррекцию для опционов глубоко в/вне денег: чтобы внутренняя цена опциона была не меньше 10п (минимальная возможная стоимость опциона). Вот как выглядит теперь подкорректированная улыбка:
Это уже более похоже на биржевую улыбку. Но все равно смущает кусочно-линейная структура. Попробуем теперь убрать коррекцию с 10п и искусственно "утяжелить" хвосты распределения цен так, чтобы это условие (внутренняя цена опциона >= 10п) выполнялось автоматически. Получаем вот такое распределение цен:
И вот такую улыбку волатильности для него:
Кажется, мы на верном пути и улыбка все ближе к биржевой. Вопрос только - как именно "утяжелить" хвосты у распределения цен? И почему собственно их нужно "утяжелять"? Ведь мы использовали распределение приращений, в котором и так хвосты были гораздо толще, чем у нормального распределения. Возможно, причина кроется в зависимости приращений. Когда мы строили очередную случайную траекторию движения БА к экспирации, то на каждом шаге очередное приращение выбиралось абсолютно случайно. Т.е. мы исходили из принципа, что приращения в эмпирическом распределении независимы. Но так ли это в действительности?
Проведем эксперимент: после каждого значительного приращения (например, на +100п) запомним следующее приращение и посмотрим, какое получится распределение таких приращений. Вот какое условное распределение получается:
Видно, что матожидание этого распределения не ноль (0.02% от цены БА). 60% приращений имеют положительные значения. Т.е. в 60% случаев после роста вверх на 100п и более, на следующем баре движение вверх продолжалось и в среднем было примерно 30-40п (скальперам - на заметку!). Т.е. наш экспресс-анализ показывает, что приращения нельзя считать независимыми. И для генерации случайной траектории движения цены нужно не просто случайно выбирать очередное приращение, а использовать при этом некие зависимости.
Попробуем сымитировать такие зависимости. Например, рассмотрим такой вариант: в 98% траектории строятся абсолютно случайно, в 1% траектория строится случайно, но с тенденцией к падению, в 1% - к росту. Вот какое распределение цен получается:
Для такого распределения получается следующая улыбка волатильности:
Форма улыбки - все ближе к биржевой. Разберемся теперь с дном улыбки. У транслируемой биржей улыбки дно находится справа от текущего значения БА, и по мере приближения к экспирации - подтягивается к БА. И в последний день улыбка становится наконец симметричной. С чем связано такое поведение улыбки? Интересную гипотезу высказал Олег Мубаракшин : За смещение дна отвечает корреляция между ценой и волатильностью. То что мы наблюдаем для опционов на индекс - следствие отрицательной корреляции между приращениями цены фьючерса и приращениями его волатильности...
Попробуем смоделировать это. Т.е. будем использовать не фиксированное распределение приращений, а динамически меняющееся, в зависимости от того: растет текущая траектория цены или падает. Если растет, будем постепенно снижать волатильность. Если падает - будем повышать волу. Вот какое распределение цен получается при таком моделировании:
Видно что теперь левая сторона пика более пологая, поскольку для его построения использовалось более волатильное распределение приращений. Посмотрим теперь на улыбку, которая получается при таком распределении цен:
Гипотеза подтвердилась! Дно действительно сместилось вправо. Если посмотреть в динамике, то дно у такой улыбки будет также как и у биржевой по мере приближения к экспирации подтягиваться к БА.
Итак, подведем итоги нашего исследования и ответим на исходный вопрос - откуда появляется улыбка волатильности:
- Отличие эмпирического распределения приращений от нормального, а также его толстые хвосты, не является причиной возникновения улыбки.
- Улыбка возникает из-за толстых хвостов распределения цен на экспирацию.
- Скорее всего эти толстые хвосты возникают из-за зависимости приращений в эмпирическом распределении.
Чем это может быть полезно с практической точки зрения, непосредственно для торговли? Теперь можно сделать инструмент для генерации улыбок, в котором трейдер на вход задает несколько параметров, на выходе получает улыбку. В этой модели хорошо что все входные параметры - не просто абстрактные коэф-ты для подгонки, а имеют физический смысл:
- Сначала задается базовое распределение приращений. Можно взять, скажем, все приращения, которые были на рынке за последний месяц. Или другой период, который трейдер посчитает характерным для текущей ситуации на рынке. Можно даже взять просто нормальное распределение с сигмой, вычисляемой из HV. Т.е. вообще один параметр получается, и трейдеру нужно будет только оценить текущую HV на рынке. Это базовое распределение приращений будет задавать вертикальное положение будущей улыбки. Распределение с большей сигмой будет поднимать улыбку вертикально вверх, с меньшей - опускать вниз.
- Задаются зависимости между приращениями, чтобы в конечном распределении цен на экспу были тяжелые хвосты. Для траекторий вверх и вниз можно задавать разные зависимости. Чем больше зависимость в каком либо направлении, тем больше угол наклона соответствующей ветви улыбки. Вариантов тут много. Можно, например, использовать информацию о распределении ОИ по страйкам. Скажем, если на каком-то дальнем страйке открыт ОИ в 1% от общего ОИ, значит делаем так чтобы 1% случайных траекторий стремился на экспирацию прийти на этот страйк. И т.д.
- Задается зависимость между приращениями БА и приращениями его волатильности. Этот параметр будет влиять на смещение дна улыбки. Его наверняка можно просто вычислить по истории, и трейдеру не придется его оценивать самостоятельно.
Если сделать такой инструмент для генерации улыбки, то можно будет получать не просто одну улыбку, а некий диапазон (задавая несколько разных наборов входных параметров). Тогда можно будет использовать нижнюю границу диапазона для покупок, верхнюю - для продаж.
Еще результаты этого исследования можно применить для моделирования сценариев для имеющегося опционного портфеля. Теперь видно, что генерирование тысяч случайных траекторий при использовании просто статичного распределения приращений за какой-то период, даст слишком грубую оценку возможных вариантов для портфеля.
© 2013 Браулов Кирилл
Большую помощь в исследовании оказали: