Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S 0 – канал свободен; S 1 – канал занят. Переход из S 0 в S 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S 1 в S 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.9).

Рис.9. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - ); – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и .

N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано : в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение . Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

· S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

· S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

· S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

· S n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 10.

Рис.10. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояние S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система переходит из S 0 в S 1). Если система находилась в состоянии S 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S 2 и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S 1 в состояние S 0 нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна и т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность :

где n – количество каналов СМО; – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.11.

Рис.11. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 1 , когда один канал занят.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .

Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний

P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:

Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,

P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},

где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина

\rho=\frac{\lambda}{\mu}

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Абсолютная пропускная способность:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:

\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),

где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

\overline{k}=\frac{A}{\mu}

Или, учитывая (29), (24):

\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем

З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:

– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;

– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени. p 0 - вероятность того, что канал свободен, Q - относительная пропускная способность

Интенсивность нагрузки ρ=3 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
2. Время обслуживания .
мин.

Следовательно, 3% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 1.7 мин.

занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 3 1 /1! 0.0282 = 0.0845
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 3 2 /2! 0.0282 = 0.13
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 3 3 /3! 0.0282 = 0.13
.

Значит, 13% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
.

p отк + p обс = 1

p обс = 1 - p отк = 1 - 0.13 = 0.87
Следовательно, 87% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
.
n з = ρ p обс = 3 0.87 = 2.6 каналов
.
n пр = n - n з = 3 - 2.6 = 0.4 каналов
.

Следовательно, система на 90% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность для многоканальной СМО .

A = p обс λ = 0.87 6 = 5.2 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО .
t пр = p отк ∙ t обс = 0.13∙ 0.5 = 0.06 мин.
.

ед.
мин.
.
L обс = ρ Q = 3 0.87 = 2.62 ед.
.
L CMO = L оч + L обс = 1.9 + 2.62 = 4.52 ед.
.
мин.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 0.78 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.5 = 6 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 5.2 / 6 = 87% от номинальной производительности.

Пример №2 . Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. Машины с товаром прибывают в универсам в неопределенное время. В среднем прибывает λ автомашин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более m автомашин одновременно. В универсаме работают n фасовщиков, каждый из которых в среднем может обработать товар с одной машины в течение t обсл дня. Определить вероятность обслуживания приходящей автомашины P обс. Какова должна быть емкость подсобных помещений m 1 , чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. Pобс.> P*обс.
λ = 3; t обс = 0,5; n = 2; m = 2, P* обс = 0,92.
Решение .

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Переводим интенсивность потока заявок в часы: λ = 3/24 = 0.13
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/12 = 0.0833
1. Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 0.13 12 = 1.56
Интенсивность нагрузки ρ=1.56 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 18% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 11 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 1.56 1 /1! 0.18 = 0.29
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 1.56 2 /2! 0.18 = 0.22
4. Доля заявок, получивших отказ .

Значит, 14% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок .
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.14 = 0.86
Следовательно, 86% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием .
n з = ρ p обс = 1.56 0.86 = 1.35 канала.
Среднее число простаивающих каналов .
n пр = n - n з = 2 - 1.35 = 0.7 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием .
K 3 = n 3 /n = 1.35/2 = 0.7
Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.
8. Находим абсолютную пропускную способность .
A = p обс λ = 0.86 0.13 = 0.11 заявок/час.
9. Среднее время простоя СМО .
t пр = p отк t обс = 0.14 12 = 1.62 час.
Вероятность образования очереди .


10. Среднее число заявок, находящихся в очереди .

ед.
11. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
T оч = L оч /A = 0.44/0.11 = 3.96 час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 1.56 0.86 = 1.35 ед.
13. Среднее число заявок в системе .
L CMO = L оч + L обс = 0.44 + 1.35 = 1.79 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО .
T CMO = L CMO /A = 1.79/0.11 = 16.01 час.

Теперь ответим на вопрос: какова должна быть емкость подсобных помещений m 1 , чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине, т.е. P обс. > 0.92. Расчет производим исходя из условия:

где
Для наших данных:

Далее необходимо подобрать такое k (см. п.3 "доля времени простоя каналов"), при котором p отк 0.92.
например, при k = m 1 = 4, p отк = 0.07 или p обс = 0.93.

1) одноканальная СМО

В предельном (стационарном) режиме система уравнений Колмогорова:

Учитывая нормировочное условие p 0 + p 1 = 1, найдем:

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S 0 (когда канал свободен) и S 1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность системы q и вероятность отказа P отк:

Абсолютная пропускная способность: .

Задача 1. Известно, что заявки в ателье поступают с интенсивностью?=90 (заявок в час), а средняя продолжительность разговора по телефону t об = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение.

Интенсивность потока обслуживания?= 1/ t об =1/2 = 0,5(1/мин) = 30 (1/ч).

Относительная пропускная способность СМО q = 30/(30+90) = 0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P отк = 0,75. Абсолютная пропускная способность СМО: Q = 90*0,25 = 22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки.

Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

2) многоканальная СМО

Система уравнений Колмогорова имеет вид:

В стационарном режиме:

Разрешим систему (1) относительно неизвестных p 0 , p 1 ,..., p m . Из первого уравнения:

Из второго с учетом (2):

Аналогично из третьего, с учетом (2) и (3):

и вообще, для любого k ? m:

Введем обозначение:

Определяет среднее число требований, поступающих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки (приведенная плотность потока заявок).

Формула (6) выражает все вероятности p k через p 0 . Воспользуемся условием:

Подставляя (7) в (6), получим, 0 ? k ? m. (8)

Формулы (7) и (8) называют формулами Эрланга. Полагая в формуле (8) k = m, получим вероятность отказа

Относительная пропускная способность (вероятность того, что заявка будет обслужена):

Формулы Эрланга и их следствия (9), (10) выведены для случая показательного закона распределения времени обслуживания. Но исследования последних лет показали, что эти формулы остаются справедливыми при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим. Также формулами Эрланга можно пользоваться (с известным приближением) и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Наконец, формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда СМО допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки.

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

или или, учитывая (11) и (5)

При большом числе каналов обслуживания применяют следующие формулы, которые также называются формулами Эрланга:

При больших значениях i:

функция Лапласа.

Вероятность отказа: (9")

Относительная пропускная способность

Среднее число занятых каналов:

Задача 2. В условиях предыдущей задачи определить оптимальное число телефонных номеров в ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (5) ? = 90/30 = 3, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора t об = 2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4,... и определим по формулам (7), (10), (11) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n = 2

Значения характеристик СМО представим в таблице:

По условию оптимальности q ? 0,9, следовательно, в ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае q = 0,9). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (Q = 80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов)

Задача 3. Автоматическая телефонная станция обеспечивает не более 120 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговора 60 секунд, а вызовы поступают в среднем через 0,5 секунды. Рассматривая такую станцию как многоканальную систему обслуживания с отказами и простейшим входным потоком, определить: а) среднее число занятых каналов, б) относительную пропускную способность, в) среднее время пребывания вызова на станции с учетом того, что разговор может и не состояться.

Решение. Имеем: m = 120; ? = 1/0,5 = 2; ? = 1/60; ? = ?/? = 120.

Используя таблицы функции Лапласа, получаем:

так как? есть интенсивность входного потока (число заявок в единицу времени), то?t ср = и.

2 . СМО с ожиданием и ограниченным временем ожидания.

Имеется m каналов обслуживания, входной поток - простейший с интенсивностью?, время обслуживания и время ожидания - СВ, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами? и? соответственно.

Если занято i каналов и i ? m, то в силу независимости их функционирования интенсивность обслуживания возрастает в i раз: ? i,i-1 = i?. При возникновении очереди каждое состояние рассматриваемой СМО характеризуется занятостью каналов обслуживания. Поэтому интенсивность освобождения каналов становится постоянной u = m?.

Закон распределения времени ожидания определяется интенсивностью? ухода из очереди при наличии в ней одной заявки. В силу независимости поступления заявок (см. определение простейшего потока) интенсивность, с которой заявки отказываются от обслуживания и уходят из очереди, равна r? (для очереди длины r ? 1). Т.о., плотность вероятности перехода системы из состояния S m+r в состояние S m+r-1 равна сумме интенсивностей освобождения каналов обслуживания и отказа от обслуживания: ? m+r,m+r-1 = m? + r?.

Составим уравнения Колмогорова:

i=1,..., m-1, r ? 0.

Если на длину очереди не накладывать ограничений, то система обыкновенных дифференциальных уравнений (1) является бесконечной.

Если в начальный момент времени t = 0 рассматриваемая система находилась в одном из своих возможных состояний S j , то начальные условия для нее выглядят следующим образом.